《九章算術(shù)》的主要內(nèi)容及其教育價(jià)值
陳金飛
《九章算術(shù)》是“算經(jīng)十書(shū)”中最重要的一種,是中國(guó)古典數(shù)學(xué)最重要的著作，還是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)今世界上最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)著作，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系。《九章算術(shù)》上承先秦?cái)?shù)學(xué)發(fā)展的源泉，入漢以后又經(jīng)許多學(xué)者的整理、刪補(bǔ)和修訂，大約于東漢初年成書(shū)，是幾代人智慧的結(jié)晶。
一、《九章算術(shù)》的主要內(nèi)容
《九章算術(shù)》收有246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，全書(shū)采用問(wèn)題集的形式，書(shū)中每道題都有問(wèn)、有答、有術(shù)（解題的思想方法、公式、法則）。有的一題一術(shù)，有的一題多術(shù)，有的多題一術(shù)。全書(shū)分為九章,主要內(nèi)容分別是：
第一章，方田，計(jì)38題，分為兩類：一類是講平面圖形的面積計(jì)算。如“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“邪田或箕田”（梯形）等。這充分說(shuō)明幾何學(xué)是直接從測(cè)量田畝的實(shí)踐中產(chǎn)生的。方田這一章給出了求以上“田”（圖形）面積的方法。例如第25題指出計(jì)算三角形的方法。“術(shù)曰：半廣以乘正從”。這里的“半廣”是指“底長(zhǎng)的一半”，“正從”是指“高”。著名數(shù)學(xué)家劉徽在注文中用“以盈補(bǔ)虛”的方法加以證明，并配有生動(dòng)形象的圖（如圖1）。另一類是分?jǐn)?shù)運(yùn)算法則。內(nèi)容涉及約分、分?jǐn)?shù)的加減法及分?jǐn)?shù)大小比較，與小學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)。
圖1
第二章，粟米，計(jì)46題，講谷物糧食的按比例折換。先規(guī)定好各種糧食之間的交換率，然后用“今有術(shù)”來(lái)計(jì)算?！敖裼行g(shù)”就是比例，是從三個(gè)已知數(shù)求出第四個(gè)數(shù)的算法。例如，設(shè)從比例關(guān)系a:b=c:x求x，《九章算術(shù)》稱a為“所有率”、b為“所求率”、c為“所有數(shù)”、x為“所求數(shù)”。今有術(shù)：“以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法，實(shí)如法而一”，相當(dāng)于x=。
第三章，衰分，計(jì)20題，以“今有術(shù)”為基礎(chǔ)，處理各種按比例分配問(wèn)題。
第四章，少?gòu)V，計(jì)24題，講面積和體積的開(kāi)平方與開(kāi)立方的問(wèn)題。
第五章，商功，計(jì)28題，講立體形面積計(jì)算問(wèn)題和土方人工計(jì)算問(wèn)題。 “商”是“商量”、“量度”的意思?！毒耪滤阈g(shù)》中記載的圓柱體積的計(jì)算方法是“周自相乘，以高乘之，十二而一”，也就是底面周長(zhǎng)的平方乘高，再除以12。這種計(jì)算方法與現(xiàn)在的計(jì)算公式是一致的。
第六章，均輸，計(jì)28題，講根據(jù)均輸法納稅和派工的復(fù)比例、連比例等比例分配問(wèn)題，是粟米章、衰分章有關(guān)比例理論及應(yīng)用的發(fā)展。
第七章，盈不足，計(jì)20題，通過(guò)兩次假設(shè)未知量的值，把任何算術(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成盈虧問(wèn)題來(lái)解。以第1題為例：“今有共買物，人出八盈三；人出七不足四。問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？答曰：七人，物價(jià)五十三?！比裘咳顺?，就比物價(jià)多3；若每人出7，就不足4。一般地假設(shè)人數(shù)為x，每人出錢a1盈b1，出錢a2不足b2。“盈不足術(shù)”相當(dāng)于給出解法： x=（b1+ b2）÷（a2－a1）。
第八章，方程，計(jì)18題，講多元一次方程組應(yīng)用問(wèn)題解法?！胺健本褪前岩粋€(gè)算題用算籌列成方陣的形式?！俺獭笔嵌攘康目偯灿杏?jì)量，考核，程式的意思?！胺匠獭钡拿Q，就來(lái)源于此。以“方程”章第1題為例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”題中“禾”為黍米，“秉”指捆，“實(shí)”指打下來(lái)的糧食。設(shè)上、中、下禾各一秉打出的糧食分別為x，y，z（斗），則問(wèn)題就相當(dāng)于解一個(gè)三元一次聯(lián)立方程組：
《九章算術(shù)》沒(méi)有表示未知數(shù)的符號(hào)，而是用算籌將x，y，z的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)（長(zhǎng)）方陣（如圖2，其中已將籌算數(shù)碼換作阿拉伯?dāng)?shù)碼）。這里采取的是自右至左縱向排列?！胺匠绦g(shù)”的關(guān)鍵算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用圖2（i）右行上禾（x）的系數(shù)3“遍乘”中行各數(shù)得6，9，3，102，然后兩次減去右行對(duì)應(yīng)各數(shù)，得0，5，1，24。又用3遍乘左行各數(shù)得3，6，9，78，減去右行對(duì)應(yīng)各數(shù)得0，4，8,39，就得到圖2（ii）。其次以圖2（ii）中行中禾（y）的系數(shù)5遍乘左行各數(shù)，四次減去中行對(duì)應(yīng)的各數(shù)，將左行36和99兩數(shù)約分，又得到圖2（iii）。為求上禾（x）和中禾（y），以圖2（iii）左行下禾（z）的系數(shù)4遍乘中行各數(shù)，減去左行對(duì)應(yīng)的各數(shù)，中行所得20和85兩數(shù)約分得4和17。再用4遍乘右行各數(shù)，減去左行各數(shù)后，再兩次減去中行各數(shù)，將所得兩數(shù)12和111相約得4和37，最后得到圖2（iv）。由此方程計(jì)算得：上禾（x）=9，中禾（y）=4，下禾（z）=2。很清楚，《九章算術(shù)》方程術(shù)的遍乘直除算法，實(shí)質(zhì)上就是我們今天所使用的解線性方程組的消元法，西方文獻(xiàn)中稱之為“高斯消去法”?！毒耪滤阈g(shù)》方程術(shù)，是世界數(shù)學(xué)史上的一顆明珠。
圖2
《九章算術(shù)》在代數(shù)方面的另一項(xiàng)突出貢獻(xiàn)是負(fù)數(shù)的引進(jìn)。正負(fù)術(shù)曰：同名相除，異名相益，正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之；其異名相除，同名相益，正無(wú)入正之，負(fù)無(wú)入負(fù)之?！巴?、“異名”即同號(hào)、異號(hào)；“相益”、“相除”指兩數(shù)絕對(duì)值相加、相減。劉徽對(duì)負(fù)數(shù)的出現(xiàn)作了很自然地解釋：“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意即正負(fù)是兩種“得失相反”情況的反映，并主張用紅色算籌表示正數(shù)，黑色算籌表示負(fù)數(shù)，或者用正、斜排列的方式分別表示正、負(fù)數(shù)。這個(gè)記載比國(guó)外早了七八百年。
第九章，勾股，計(jì)24題，講利用勾股解決問(wèn)題，與測(cè)量和繪圖有直接的聯(lián)系?！耙杂呱顝V遠(yuǎn)”，主要解決勾股測(cè)望問(wèn)題，涉及勾股術(shù)、勾股容圓術(shù)、勾股容方術(shù)。
二、《九章算術(shù)》的教育價(jià)值
《九章算術(shù)》作為一部世界科學(xué)名著，聯(lián)系實(shí)際，題材多樣，由淺入深，在古代既便于教學(xué)又適合自學(xué)深造。即使到現(xiàn)在，它在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域還有著極高的教育價(jià)值。
1．有利于拓展學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)面。
《九章算術(shù)》算題在取材上豐富多彩，引人入勝。具體涉獵小學(xué)八個(gè)方面教學(xué)內(nèi)容：圖形的面積、長(zhǎng)方體與圓柱體的體積、十進(jìn)位值制、最大公因數(shù)、約分、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則、方程、負(fù)數(shù)。
書(shū)中很多算題只要稍加改變就可以成為比較好的教學(xué)題材，如三角形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)?，F(xiàn)行教材是引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想，將兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)等底等高的平行四邊形，得出三角形面積計(jì)算公式。而適時(shí)介紹《九章算術(shù)》記載的“半廣以乘正從”計(jì)算方法，則對(duì)于開(kāi)拓學(xué)生數(shù)學(xué)視野，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生對(duì)公式的理解打開(kāi)一片新的天地。學(xué)生受此啟發(fā)，還可將三角形轉(zhuǎn)化為“底一半高相等的平行四邊形”和“底相等高一半的平行四邊形”等。
2．有利于更好地掌握數(shù)學(xué)思想方法。
《九章算術(shù)》作為傳世的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，雖沒(méi)有直接闡述其數(shù)學(xué)觀，但通過(guò)其體系結(jié)構(gòu)不難看出蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法。即通過(guò)觀察—分析—?dú)w納—概括的過(guò)程，總結(jié)出抽象的結(jié)論，對(duì)抽象理論輔以一定數(shù)量的實(shí)際問(wèn)題來(lái)加深理解。比如出入相補(bǔ)原理是貫穿《九章算術(shù)》一條基本原理，其中蘊(yùn)含化歸、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等思想方法，利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。同時(shí)，對(duì)于學(xué)生從數(shù)學(xué)史的角度，找尋目前正在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的本源，亦有一定的借鑒與探源作用。
3．有利于培養(yǎng)正確的情感態(tài)度和價(jià)值觀。
《九章算術(shù)》對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)的影響與歐幾里得《幾何原本》對(duì)西方數(shù)學(xué)的影響是一樣的。古代數(shù)學(xué)家大都是從《九章算術(shù)》開(kāi)始學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的，以至于許多大數(shù)學(xué)家都曾為它作注釋，最著名的有劉徽、張蒼、耿壽昌、李淳風(fēng)等人。唐宋兩代都由國(guó)家明令規(guī)定為教科書(shū)。1084年，由當(dāng)時(shí)的北宋朝廷進(jìn)行刊刻，因而也是世界上最早的印刷本數(shù)學(xué)書(shū)。
在課堂內(nèi)外介紹這些算題，不僅可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，而且能讓他們感受到我國(guó)古代在數(shù)學(xué)上取得了巨大的成就，這對(duì)弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強(qiáng)民族自豪感、振奮民族精神大有好處。
參考文獻(xiàn)：
1．梁宗巨.世界數(shù)學(xué)通史【M】.遼寧：遼寧教育出版社，2000.
2．李文林.數(shù)學(xué)史教程【M】.北京：高等教育出版社，1999.
3．李菊梅.《九章算術(shù)》的教育價(jià)值[J]．碩士學(xué)位論文，2010.
本文發(fā)表于《小學(xué)教學(xué)》，2014.05下.48～49.
3200字