漸變：讓學(xué)生在意趣中信步于學(xué)習(xí)深處
江蘇省啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué) 季國(guó)棟
古希臘哲學(xué)家赫拉克利特說過：“一個(gè)人不能兩次踏進(jìn)同一條河流”，意思是說，變化是世界的特點(diǎn)，一切存在都是在變化的。
漸變是變化的一種形式，是一種逐漸發(fā)生改變，有順序、有節(jié)奏的漸進(jìn)變化。漸變現(xiàn)象在生活中隨處可見，如形狀、大小、位置、方向、色彩等?？此破匠５臐u變形式，卻給人以別樣的意味和情趣。因?yàn)闈u變是很自然的變化，并不讓人感到突然，而恰恰在這不經(jīng)意間，在這不希望變化和不追尋變化的過程中，卻會(huì)始料未及，帶來意想不到的驚喜，享受到漸變所帶來的強(qiáng)烈意趣。
如果把這一藝術(shù)性的手法運(yùn)用于我們的教學(xué)之中，與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)如期而遇，學(xué)生就會(huì)覺得特別“好玩”，真切感受到學(xué)習(xí)的意趣。這意趣中既有能看見的情趣，也有能體會(huì)的理趣，可以幫助學(xué)生將感性與理性有機(jī)融合，步入學(xué)習(xí)深處。
一、真切引領(lǐng)深察特征
認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體的教學(xué)，要求學(xué)生由原先的直觀的感性認(rèn)識(shí)上升為初步的理性認(rèn)識(shí)，具體說來，就是從整體把握和直覺作出判斷，提升為不僅掌握長(zhǎng)方體的基本特征，能根據(jù)特征判斷一個(gè)物體的形狀是不是長(zhǎng)方體，而且要通過探究，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體的一些其他的特征，并能在問題解決中應(yīng)用這些特征。
這樣的知識(shí)特點(diǎn)和認(rèn)知要求很適合運(yùn)用漸變的形式來組織教學(xué)（圖1），通過漸變來引領(lǐng)學(xué)生深察長(zhǎng)方體的特征，從而為牢固掌握和靈活應(yīng)用夯實(shí)基礎(chǔ)。
圖1
讓學(xué)生先看著第一幅完整的長(zhǎng)方體圖形，然后閉上眼睛，試著在腦海中回憶出長(zhǎng)方體圖形的樣子，再睜開眼看看腦海中的圖形是否與眼前的長(zhǎng)方體一致。之后，從完整的長(zhǎng)方體漸變到只有“長(zhǎng)、寬、高”各一條棱，再回到完整的長(zhǎng)方體。這樣，學(xué)生在睜眼——閉眼——睜眼的過程中，體驗(yàn)著感知的樂趣，情趣中蘊(yùn)含理趣，體會(huì)到：長(zhǎng)方體不同于一維的直線和二維的平面，是立體圖形，具有三向性，即前后、上下、左右三個(gè)方向，也就是三維；長(zhǎng)方體就是由代表三維的長(zhǎng)、寬、高三向的長(zhǎng)短來確定的。
二、從容拓展深度思維
“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)（思維）活動(dòng)的教學(xué)。”斯托利亞爾在列舉數(shù)學(xué)教育目的時(shí)把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維放在第一位。學(xué)生的思維不能缺乏深層的交流和碰撞，不能沒有思維的深度，而要實(shí)現(xiàn)有深度的思維，不僅要找準(zhǔn)思維的關(guān)鍵，而且必須在關(guān)鍵之處讓思維有所突變。我們可以從“水滴石穿”中感受到漸變所帶來的最后一滴的突變的力量，在思維上漸變的效果同樣如此。
如，在探究三角形三邊關(guān)系時(shí)，就可以運(yùn)用漸變的方式，引導(dǎo)學(xué)生感悟要點(diǎn)。三
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圖2
角形三邊的關(guān)系是兩邊之和大于第三邊。通過直接比較兩邊長(zhǎng)度之和與第三邊的大小，是可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的。過程僅此而已，貌似探究，其實(shí)質(zhì)還處于思維的表層，關(guān)鍵是如何想到這般比較，這才是深度的思維。教師運(yùn)用漸變（圖2），呈現(xiàn)a和b兩條邊長(zhǎng)度逐漸變長(zhǎng)的過程。學(xué)生在感受a邊和b邊不斷增長(zhǎng)的同時(shí)，困惑也油然而生：“a邊和b邊要長(zhǎng)到什么程度才可以圍成三角形呢？”漸變將這一過程充分暴露出來，有利于所有學(xué)生明白研究的原由，意識(shí)到研究的關(guān)鍵是要用兩條邊的長(zhǎng)度之和與第三邊比較，即以此來判斷是否能圍成三角形。這樣，可以改變以往教學(xué)中學(xué)生知其然而不知其所以然的現(xiàn)象，也改變只有個(gè)別學(xué)生知道的尷尬局面。
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圖3
接下來，教師可先后呈現(xiàn)三種不同的變化（圖3）：只增加a邊的長(zhǎng)度，另兩條邊的長(zhǎng)度不變，讓三條邊圍成三角形；只增加b邊的長(zhǎng)度，圍成三角形；在a邊和b邊長(zhǎng)度不變的情況下，縮短c邊的長(zhǎng)度，也圍成三角形。教師通過呈現(xiàn)三角形不同邊的增長(zhǎng)或縮短，讓學(xué)生在漸變中真切感受到任意改變某條邊的長(zhǎng)度，都可以圍成三角形，而不是局限于某兩條邊長(zhǎng)度的和大于第三條邊。這樣的教學(xué)能幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握住三角形三邊長(zhǎng)度之間存在的是一種關(guān)系，那就是任意兩條邊的長(zhǎng)度和大于第三條邊。
教師利用漸變的形式呈現(xiàn)學(xué)生所需要的感知內(nèi)容，讓學(xué)生的思維隨著漸變，在感悟中得到遞進(jìn)，當(dāng)遞進(jìn)到一定量的時(shí)候，就能突破一個(gè)度，形成一種豁然開朗的突變，將思維引向深處。
三、輕松明晰深隱關(guān)系
小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多關(guān)系沒有直接表達(dá)，僅僅隱含其中，學(xué)生難以覺察與體會(huì)；雖然考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平并不要求其掌握這些關(guān)系，但是學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用中卻往往會(huì)觸及。
比如，在長(zhǎng)方形和正方形認(rèn)識(shí)中，只是讓學(xué)生通過觀察、操作、思考和交流等活動(dòng)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形和正方形的基本特征，知道長(zhǎng)方形、正方形邊和角的基本特點(diǎn)，體會(huì)長(zhǎng)方形與正方形的聯(lián)系和區(qū)別，至于正方形是特殊長(zhǎng)方形這一關(guān)系，就深深隱藏起來。然而，學(xué)生會(huì)遇到這樣的判斷題：1.長(zhǎng)方形對(duì)邊相等。2.正方形對(duì)邊相等。通常都會(huì)出現(xiàn)：第一題正確率很高，第二題卻是錯(cuò)誤較多。同樣，生活中有許多人從幼兒時(shí)就能從長(zhǎng)方形紙中剪出正方形，但是對(duì)于操作背后數(shù)學(xué)理由卻并不知道。這些現(xiàn)象產(chǎn)生的原因就在于正方形是特殊長(zhǎng)方形關(guān)系的藏而不露，更不用說清晰明了。
對(duì)于隱含在教材之中的有些關(guān)系，學(xué)生并非無法理解，關(guān)鍵在于采用怎樣的方式可以讓學(xué)生順暢清晰地解其意，明其理。
圖4
在漸變中（圖4），長(zhǎng)方形的長(zhǎng)在變化，而且在每一次的變化中，長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度越來越接近，并且不斷趨于相等。即使長(zhǎng)和寬相等時(shí)，圖形的特征也仍然是對(duì)邊相等，四個(gè)角是直角，依然是長(zhǎng)方形，不過此時(shí)的邊比較特殊，不僅對(duì)邊相等而且四條邊都相等。在這個(gè)過程中，圖形由一般形狀的長(zhǎng)方形開始，逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥庑螤畹恼叫?，再變化到一般形狀，最后定格為特殊形狀，學(xué)生從中既可以發(fā)現(xiàn)正方形與長(zhǎng)方形有著密切的聯(lián)系，而且還能明確正方形是長(zhǎng)方形的特殊狀態(tài)。
四、準(zhǔn)確理解深邃內(nèi)涵
數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。許多概念中的詞語也非常抽象，很難理解，如“容器所能容納物體的體積就是這個(gè)容器的容積”中的“所能容納”，便是如此。
通常教師在盒子里裝滿細(xì)沙，引導(dǎo)學(xué)生觀察，表明盒子所能容納細(xì)沙的體積，就是盒子的容積，隨后師生共同列舉多種不同容器裝滿物體的情形，并在此基礎(chǔ)上概括出像水桶、瓶子、茶葉桶等所能容納的物體的體積，叫做它們的容積。顯然，如此教學(xué)這僅僅只是容器與所裝之物的變換，并不是容積概念的本質(zhì)反映，而對(duì)于“所能容納”的理解更是采用回避的態(tài)度，留待學(xué)生自己感悟，自我完善。但學(xué)生很容易產(chǎn)生誤解，認(rèn)為容器所裝物體的全部體積，即便超出，仍是該容器的容積，也認(rèn)為只有裝了物體的容器才有容積，沒裝物體的容器就沒有容積等。這些偏差的認(rèn)識(shí)，錯(cuò)誤的理解通過漸變都可以避免。
圖5
通過運(yùn)用漸變形式（圖5），教師提問引導(dǎo)：“哪個(gè)杯中的沙子體積是杯子的容積？這4個(gè)相同的杯子容積相等嗎？”由此，學(xué)生可以在漸變中比較，在比較中準(zhǔn)確理解“所能容納”指的是杯中的沙子正好裝滿，沒有縫隙，也沒有超出。進(jìn)而，學(xué)生在漸變中還能直觀地體會(huì)到：杯子里即使沒有裝沙子，也是有容積的；杯子里裝的沙子在漸漸地變化，而杯子的容積沒有改變；相同的杯子，容積相等。
另外，在學(xué)習(xí)圓錐體積時(shí)，師生往往將圓錐體容器裝滿水，然后倒入和它等底等高圓柱體容器，三次基本倒?jié)M，得出圓錐體體積等于和它等底等高圓柱體體積的三分之一。教學(xué)中就是這樣采用容積來確定體積的。然而，很多學(xué)生對(duì)此感到困惑：“為什么容積就等于體積？”為了幫助學(xué)生釋疑解惑，可以利用課件，將圓錐體容器的厚度進(jìn)行漸變，先呈現(xiàn)比較厚的圓錐體容器，然后逐漸將容器壁的厚度變薄，引導(dǎo)學(xué)生慢慢感受，逐漸想象到“零厚度”，最后抽象成圓錐體的數(shù)學(xué)圖形。由此，讓學(xué)生理解在理想狀況下，可以忽略圓錐體容器壁的厚度，因此容積就等于體積。
對(duì)于小學(xué)生來說，沒有變化或者變化過于強(qiáng)烈，都不能產(chǎn)生刺激，形成不了感受；因此，在設(shè)計(jì)漸變情景時(shí)，要注意變化的程度。漸變的程度太大，就不連貫，感覺脫節(jié)；漸變的程度太小，就會(huì)重復(fù)，感覺拖沓。漸變或大或小都不會(huì)有沖擊感，無法形成頓悟式的突破。若能合理設(shè)計(jì)漸變，從總體上把握事物的變化，讓量變的積累引起質(zhì)變時(shí)，就會(huì)如漸變論中所言“使微小的漸變逐漸積累，產(chǎn)生驚人的效果”。
本文發(fā)表于《福建教育》