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從“隱性”到“顯性”：小學(xué)數(shù)學(xué)思維可視化策略探析

啟東小學(xué)數(shù)學(xué)鄉(xiāng)村骨干教師培育站 衛(wèi)佳男

【摘要】小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本質(zhì)在于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和提升。數(shù)學(xué)思維可以借助語言、表象或動作進(jìn)行外顯，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對客觀事物概括和間接的認(rèn)識。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于調(diào)動學(xué)生的多重感觀，讓學(xué)生在動手操作、語言表達(dá)、圖形表征中提高思維能力，教師也要根據(jù)學(xué)生的反饋及時調(diào)整完善自己的教學(xué)內(nèi)容，從而更好地優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】思維能力  動手操作  語言表達(dá)  畫圖

小學(xué)數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)，學(xué)生通過學(xué)習(xí)能夠發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高思維水平，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成良好的思維品質(zhì)。然而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相對較難，每個學(xué)生都是獨(dú)立的個體，他們的思維過程又看不見，教師如何做到讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識的同時更好地培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力，促進(jìn)思維發(fā)展？

一、“動”中生慧：讓智慧在孩子指尖上跳躍

心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為：活動是認(rèn)識的基礎(chǔ)，智慧從動作開始。兒童的智慧往往產(chǎn)生在指尖上，所以教師應(yīng)有效地開展數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在操作中感受、體驗(yàn)知識的形成過程，同時教師可以清楚了解學(xué)生的思維現(xiàn)狀，以此對自己教學(xué)作出反思與調(diào)整，更好地培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

1.在認(rèn)知的生長處感悟積累

小學(xué)數(shù)學(xué)知識是相互聯(lián)系的，教師需了解小學(xué)數(shù)學(xué)知識總體結(jié)構(gòu)，理清各部分知識間的聯(lián)系，這樣才能讓學(xué)生在舊知的基礎(chǔ)上對新知進(jìn)行理解深化，不斷建構(gòu)新的知識體系。

教學(xué)蘇教版教材一年級下冊“認(rèn)識圖形（二）”一課，安排學(xué)生在釘子板上“圍一圍”一是能讓學(xué)生加強(qiáng)圖形的表象，二是能激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造圖形的興趣，三是為二年級學(xué)習(xí)多邊形作準(zhǔn)備。這是學(xué)生第一次接觸釘子板，教師應(yīng)事先提醒好學(xué)生在用橡皮筋圍圖形的時候，不能就往上一放，而是應(yīng)該拉緊皮筋。在釘子板上圍圖形，基本過程是：①根據(jù)要求提取記憶中有關(guān)圖形的表象（動腦想一想要圍一個什么樣的圖形）②動手圍一圍（把腦中的形狀表達(dá)出來）③驗(yàn)證做出的圖形（觀察圍成的圖形是否符合要求）④確認(rèn)或修改圖形（圖形符合要求就確認(rèn)，若不符合就進(jìn)行修改或重做）。學(xué)生在動手操作的時候，根據(jù)記憶中圖形的表象來判斷所圍圖形正確與否，不正確再通過數(shù)格子、數(shù)釘子來修改。經(jīng)過不斷“嘗試——驗(yàn)證——修正”，不僅能使學(xué)生在操作中逐步感悟知識、建構(gòu)知識體系，同時又能讓學(xué)生有序思考、提高思維水平。

在圍出長方形、正方形和三角形后，教師拋出一個問題：“能在釘子板上圍出一個圓嗎？”一開始很多學(xué)生點(diǎn)頭嘗試，嘗試過后才發(fā)現(xiàn)，在釘子板上無論怎么移動橡皮筋，圍出的線都是直的，而圓是曲線的。若僅靠想象，一年級的學(xué)生是無法正確判斷在釘子板上能不能圍成一個圓，只有自己實(shí)踐檢驗(yàn)過了，才能在腦中形成正確的認(rèn)知。心理學(xué)家研究表明，兒童的理解來自他們作用物體的活動。這樣具體、有序的操作活動可將無形的、抽象的思考具體化，思考過程可視化。[[i]]

2.在智慧的發(fā)展處提煉總結(jié)

心理學(xué)家羅杰斯認(rèn)為學(xué)生要有意義學(xué)習(xí)，要讓學(xué)生完整地投入到學(xué)習(xí)活動中去，不只是“頸部以上發(fā)生的學(xué)習(xí)”。教師應(yīng)該精心設(shè)計好數(shù)學(xué)活動環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在自由、開放的學(xué)習(xí)環(huán)境中，發(fā)展智慧、尋找規(guī)律、探尋方法、歸納總結(jié)。

蘇教版二年級上冊“認(rèn)識多邊形”一課中，教師在學(xué)生認(rèn)識多邊形圖形基礎(chǔ)上，讓學(xué)生在釘子板上圍出四邊形、五邊形和六邊形。學(xué)生雖然有在釘子板上圍圖形的經(jīng)驗(yàn)，也知道它們分別有4條邊、5條邊、6條邊，但由于一般的四邊形、五邊形和六邊形的形狀各不相同，學(xué)生的頭腦里并沒有形成這些多邊形的表象，他們在釘子板上圍多邊形時會缺乏表象的支撐。教師可以先示范在釘子板上圍一個四邊形，然后通過移動四邊形邊上或角上橡皮筋的位置，把學(xué)生的思維聚焦到四邊形邊上和角上的釘子中去，從而發(fā)現(xiàn)變動四邊形一條邊上（除端點(diǎn)外）橡皮筋的位置，圖形的邊數(shù)會發(fā)生改變。有了這樣的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在釘子板上圍多邊形已是輕而易舉之事了。

隨后一課時“認(rèn)識平行四邊形”中要求學(xué)生在釘子板上圍出平行四邊形，雖然都是四邊形，但圍平行四邊形的難度大大加深，大多數(shù)學(xué)生可能要一邊圍，一邊進(jìn)行驗(yàn)證，要及時把圍出的圖形與頭腦中的平行四邊形表象比對，若形狀不一致，則圍出的圖形不是平行四邊形，需要進(jìn)行修改，修改它與平行四邊形不一致的地方。其實(shí)有了圍長方形和多邊形的經(jīng)驗(yàn)，他們在圍平行四邊形的過程中能夠根據(jù)平行四邊形邊的特征，通過數(shù)邊上格子或釘子個數(shù)快速調(diào)整、修改圖形，在這一操作過程中，學(xué)生頭腦里的平行四邊形表象得到了大大的加強(qiáng)，教師也能通過學(xué)生的操作了解他們的思維現(xiàn)狀，從而作出相應(yīng)的判斷與指導(dǎo)。教師在教學(xué)中要注意解放學(xué)生的雙手，讓學(xué)生運(yùn)用已有知識與技能去操作、探究、回顧、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)，以此凸顯思維過程，提高思維水平，提升思維素養(yǎng)。

3．在思維的發(fā)散處深化提升 

在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，教師和學(xué)生只關(guān)注答案而忽略思維的過程?，F(xiàn)今學(xué)習(xí)觀念的轉(zhuǎn)變，關(guān)注的重點(diǎn)不只是知識本身，而是學(xué)習(xí)知識的過程。新課程提倡開放式教學(xué)，給學(xué)生更多的思維空間，讓學(xué)生帶著所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法，繼續(xù)研究新的問題，不斷提高學(xué)生發(fā)散思維的能力，提升數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)。

蘇教版五年級上冊“釘子板上的多邊形”一課，通過之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生知道在釘子板上用線圍圖形，圍成的平面圖形一定是多邊形，頂點(diǎn)一定是釘子板上的釘子。 教師在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生先從內(nèi)部有1枚釘子的多邊形開始探索研究，學(xué)生很快能發(fā)現(xiàn)：內(nèi)部釘子為1時，多邊形面積＝邊上釘子數(shù)÷2，教師再帶領(lǐng)學(xué)生舉更多例子來驗(yàn)證這一規(guī)律是否正確。在驗(yàn)證時能使不同層次的學(xué)生有機(jī)會、有效地參與到數(shù)學(xué)探究思考中，同時也能凸顯學(xué)生思維的廣闊性，彰顯數(shù)學(xué)探究的嚴(yán)謹(jǐn)性。

在探究多邊形內(nèi)部釘子為2、3、4時，教師可以放手讓學(xué)生去自主觀察、交流研究，這樣由扶到放的策略，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中會越來越有興趣、越來越有思考；讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)探索規(guī)律的過程，感悟數(shù)學(xué)思想方法，獲得思維的啟迪。

    二、“言”中顯智：讓智慧在孩子言語中傳遞

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中，思維是影響學(xué)習(xí)效果的重要因素，而語言又是思維的外在表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)把話語權(quán)交給學(xué)生，盡可能給學(xué)生創(chuàng)造更多表達(dá)的時間和空間，師生交流、生生交流的互動方式不僅能培養(yǎng)學(xué)生的語言交流能力，又能展示學(xué)生內(nèi)在的思維過程。

1.借助完整表述發(fā)展表達(dá)能力

語言是思維的外殼，我們可以通過語言將思維展現(xiàn)出來。但是在低年級課堂中，存在很多回答問題表述不完整的現(xiàn)象，學(xué)生往往知道怎么去做，但不知道如何去說，不懂如何把自己的所思所想正確無誤地表達(dá)出來，有的學(xué)生只會用一些詞組；有些學(xué)生說了一大段但還是沒說到關(guān)鍵點(diǎn)；還有些學(xué)生就說了一半，要么說了原因結(jié)果沒說，要么只說結(jié)果不說原因。這樣的情況往往讓教師不能準(zhǔn)確判斷學(xué)生是否真正掌握，也讓班內(nèi)其他同學(xué)不知所云，影響學(xué)習(xí)效率。

所以教師在教學(xué)中應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力：①讓學(xué)生在生活中養(yǎng)成先想后說的習(xí)慣②讓學(xué)生在課堂中注意傾聽同學(xué)的發(fā)言，能完整復(fù)述并回答別人的問題③注意引導(dǎo)學(xué)生有順序、有條理地表述。如教師可以訓(xùn)練他們正確使用單位名稱：幾個人、幾張紙、幾朵花等等；在解決問題中，訓(xùn)練學(xué)生“說題”的能力：找出題目中的條件與問題，用三句話表述出來；訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)語言敘述計算過程：口算25＋38時，先算25＋30＝55，再算55＋8＝63。通過這樣的反復(fù)訓(xùn)練，讓學(xué)生利用語言準(zhǔn)確明朗地表達(dá)出自己的想法，提高自己的表達(dá)能力，教師也能借此對學(xué)生的思維過程進(jìn)行指導(dǎo)，優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展路徑，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。[[ii]]

2.通過思路整理掌握分析方法

一堂高效率的數(shù)學(xué)課，除了需要學(xué)生完整表述出對知識的理解，還要求學(xué)生能夠用簡約的語言把事物間的邏輯關(guān)系有條理地表達(dá)出來。如在教學(xué)蘇教版三年級下冊“解決問題的策略（從問題出發(fā)）”應(yīng)用題中，已知小明和爸爸帶300元去購買運(yùn)動服和每個商品的價錢，求買一套運(yùn)動服和一雙運(yùn)動鞋，最多剩下多少元？

教師先讓學(xué)生說一說是如何理解最多剩下多少元？怎樣做才能使剩下的錢盡可能多？然后訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)語言說出解題思路：剩下的錢＝帶來的錢－用去的錢，而用去的錢是未知的，所以要求剩下的錢應(yīng)先算出用去的錢；而且要使剩下的錢盡可能多，就要選擇價格最低的運(yùn)動服與運(yùn)動鞋，所以選擇一套130元的運(yùn)動服和一雙85元的運(yùn)動鞋。

一般在解決問題時，教師要學(xué)生說出解題思路，說說先算什么，再算什么，通過學(xué)生的表達(dá)，教師可以直接了解學(xué)生審題和理題意的能力，便于教師根據(jù)學(xué)生反饋調(diào)節(jié)自己教學(xué)；學(xué)生通過日常的練習(xí)可以掌握解題方法，提高分析與解題的能力，并運(yùn)用所學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想解決生活中的問題，從而豐富生活經(jīng)驗(yàn)。

3.善于歸納總結(jié)培養(yǎng)思維品質(zhì)

學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中不僅要觀察分析，還應(yīng)該在解題后歸納總結(jié)出普遍方法，由特殊到一般的解題方法的總結(jié)過程其實(shí)是思維體驗(yàn)和思維擴(kuò)展的過程，能提高學(xué)生的解題能力和歸納、總結(jié)、概括、推理的能力，提升學(xué)生思維品質(zhì)。

如在蘇教版三年級下冊“有趣的乘法計算”一課中，讓學(xué)生探索兩位數(shù)乘11的計算規(guī)律。這里的教學(xué)可分三個步驟進(jìn)行：①說算式特點(diǎn)，算出各題得數(shù)。②觀察比較，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。教師引導(dǎo)學(xué)生說說“兩位數(shù)乘11后所得的積個位、十位、百位上是怎樣的數(shù)”，這是對規(guī)律的初步提煉和表達(dá)。學(xué)生通過交流得出結(jié)論：兩位數(shù)與11相乘，積的個位和百位上的數(shù)與原來兩位數(shù)個位和十位上的數(shù)相同；積十位上的數(shù)是原來兩位數(shù)十位與個位上的數(shù)之和。然后學(xué)生根據(jù)教師的引導(dǎo)進(jìn)一步交流歸納總結(jié)出“兩邊一拉，中間一加”的計算方法。③驗(yàn)證并完善規(guī)律。先讓學(xué)生應(yīng)用初步發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成書上的練習(xí)，然后出示59×11，讓學(xué)生思考：當(dāng)個位與十位上的數(shù)相加滿10時，積應(yīng)該如何求出？學(xué)生通過相應(yīng)的討論和交流以及聯(lián)系“滿10進(jìn)1”的計算經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步完善對兩位數(shù)乘11計算規(guī)律的認(rèn)識。

交流的碰撞，總結(jié)了兩位數(shù)乘11的計算方法；適時的點(diǎn)撥，揭示了知識的本質(zhì)，從而抽象概括出兩位數(shù)乘11的計算規(guī)律，用語言表達(dá)激發(fā)思維、引發(fā)思考，讓學(xué)生在活動中不斷發(fā)展、補(bǔ)充、完善思維。

三、“思”中融通：讓思維在孩子頭腦中綻放

小學(xué)生正處在以形象思維為主逐步向抽象思維過渡的階段，抽象的文字往往讓學(xué)生讀不懂題意，在分析問題過程中若能將文字與圖形相融合，借助圖形把問題中相關(guān)信息表示出來，可以幫助學(xué)生形象直觀地觀察分析思考問題。

1.隱性思維視覺化

思維是人用頭腦進(jìn)行邏輯推導(dǎo)的屬性、能力和過程，思維最大特點(diǎn)之一是其過程往往是“隱性的”。課堂上經(jīng)常有教師問學(xué)生：“你們聽懂了嗎？”學(xué)生總會點(diǎn)點(diǎn)頭。是否真的每位學(xué)生都聽明白了？他們究竟接受到了多少知識？在學(xué)生的頭腦中，新知與舊知又有著怎樣的聯(lián)系呢？這對教師來說，無疑是個謎！

要解開這個謎團(tuán)，還是要從思維的特點(diǎn)來研究突破。教師不了解學(xué)生真實(shí)的思路，很難做到以學(xué)定教、順學(xué)而導(dǎo)，但是讓全班同學(xué)一個一個表達(dá)出自己的思維過程，會占用課上大部分時間，也不一定能充分表達(dá)出自己所思所想。所以若要使得每個學(xué)生都能參與其中，并能充分表述自己對新知的理解，就需要一個載體來如實(shí)反映學(xué)生的思路，簡單的來說，便是在教學(xué)中讓學(xué)生的想法畫下來，畫圖是一種比較簡單的方式，也是學(xué)生表現(xiàn)思維、教師觀察學(xué)生思維的有效方式。[[iii]]如在教學(xué)三上《一一間隔》一課時，讓學(xué)生自主探索間隔排列的圓和正方形數(shù)量關(guān)系時，教師首先需要學(xué)生通過畫圖明確一一間隔排列的兩種物體的排列方式。不同的畫法折射出的正是學(xué)生不同的思維水平——有些學(xué)生只是仿照前面學(xué)習(xí)的例題，畫出一種表示方法：兩端圖形相同，相鄰兩個正方形中有一個圓，或者相鄰兩個圓中有一個正方形；還有些同學(xué)能將前面兩種情況都考慮進(jìn)去，并得出：兩端都是正方形的情況下，正方形比圓多1，而兩端都是圓的情況下，正方形比圓少1；另一部分同學(xué)則在前面的基礎(chǔ)上又多思考出一種圓與正方形個數(shù)相等的情況，這些同學(xué)的思維能力相對于其他同學(xué)來說更高一些，他們能更具體地、全面地、深入地認(rèn)識到圖形的內(nèi)在規(guī)律。教師可以組織學(xué)生討論他們畫出的三種圖，并研究在什么情況下兩種物體數(shù)量相等，什么情況下他們數(shù)量相差1。通過師生交流進(jìn)一步完善學(xué)生對間隔排列的兩種物體間數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，從而加深學(xué)生對“一一對應(yīng)”這一數(shù)學(xué)方法的體驗(yàn)。

2.零散知識結(jié)構(gòu)化

小學(xué)數(shù)學(xué)知識有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，很多新知識都是在已有知識基礎(chǔ)上形成和發(fā)展起來的，每一次所學(xué)知識都是為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)知識間是緊密聯(lián)系的。對小學(xué)生來說，注重數(shù)學(xué)知識的整體性，理解領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，才能真正把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，更好地發(fā)展數(shù)學(xué)思維。教師在備課時，不能只著眼于一課，而應(yīng)聯(lián)系課本前后知識點(diǎn)設(shè)計教學(xué)；組織教學(xué)時，更要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析比較新知與舊知，進(jìn)而將新知更好地融合入自己的知識體系中。

如復(fù)習(xí)三上《兩三位數(shù)除以一位數(shù)》這一單元時，可以在課前先讓學(xué)生回顧本單元的內(nèi)容，“學(xué)習(xí)兩三位數(shù)除以一位數(shù)過程中遇到哪些問題？又是如何解決的？”“筆算時應(yīng)注意什么？”然后學(xué)生根據(jù)自己對所學(xué)知識的理解繪制數(shù)學(xué)學(xué)科思維導(dǎo)圖。課前進(jìn)行思維導(dǎo)圖的繪制對學(xué)生來說是一種檢驗(yàn)的手段，也能幫助教師了解不同學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握程度。課上教師可以有針對性地將部分學(xué)生的思維導(dǎo)圖投影展示，全班進(jìn)行點(diǎn)評，教師及時補(bǔ)充梳理，進(jìn)一步完善學(xué)生的思維導(dǎo)圖。整個教學(xué)過程都是以學(xué)生為主體，學(xué)生在繪制中有效地用數(shù)學(xué)思維方式去思考，在交流討論中逐步完善自己的知識結(jié)構(gòu)，學(xué)會將單一零散的知識系統(tǒng)化、條理化、結(jié)構(gòu)化，從而促進(jìn)學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維的發(fā)展。

（兩、三位數(shù)除以一位數(shù)單元復(fù)習(xí)思維導(dǎo)圖）

3．復(fù)雜問題簡單化

很多教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生上課聽懂了，而到練習(xí)時又常出錯，在數(shù)學(xué)的題海中迷失方向，轉(zhuǎn)不出去。但其實(shí)數(shù)學(xué)并不可怕，只要理清數(shù)量關(guān)系，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題也能變簡單，任何難題都能迎刃而解。

如：綠花有12朵，黃花的朵數(shù)是綠花的2倍，紅花比黃花多7朵。紅花有多少朵？這一題是讓學(xué)生已知三個數(shù)量間的關(guān)系和其中一個數(shù)量，求另一個數(shù)量的兩步計算實(shí)際問題。已知條件間的相關(guān)性并不是十分清晰，學(xué)生展開思考時，需要在已知三個條件中進(jìn)行合理的選擇。僅從文字中分析選擇條件來解題對三年級學(xué)生來說還是有一定難度的，這時教師可以利用教材給出的線段圖表示題中的條件和問題，進(jìn)而再讓他們看圖說說綠花、黃花和紅花朵數(shù)之間的關(guān)系。接下來，教師提出：“根據(jù)上面提到的這些關(guān)系，你打算怎樣解答教材提出的問題？”引導(dǎo)學(xué)生從已知條件出發(fā)展開進(jìn)一步思考。在學(xué)生充分交流的基礎(chǔ)上，出示下圖讓他們把握認(rèn)知對象的本質(zhì)，從而理清思路。

（綠花、黃花和紅花數(shù)量關(guān)系圖）

很多教師認(rèn)為讓學(xué)生多做題就能產(chǎn)生牢固的記憶，從而提高答題準(zhǔn)確率，盡管這也能幫助學(xué)生提高成績，但卻只把學(xué)習(xí)當(dāng)做簡單的條件反射，忽視學(xué)生思考過程及知識建構(gòu)的作用，課堂缺乏思維。長此以往，學(xué)生會缺少思考意識，思維能力得不到發(fā)展。教師在教學(xué)時應(yīng)更多地注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會將抽象數(shù)學(xué)問題與圖示結(jié)合起來，打開思維的大門，讓不可見的思維可視化，復(fù)雜的問題簡單化，從而找到有效的問題解決的辦法。

在科技飛速發(fā)展的大數(shù)據(jù)時代背景下，傳統(tǒng)教育難以滿足現(xiàn)代對素質(zhì)人才的要求，所以需要改變教學(xué)模式，更注重培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和能力。小學(xué)數(shù)學(xué)思維可視化是一種新的教學(xué)模式，改變了教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，構(gòu)建出一個智慧、開放、自由、個性化的課堂，讓學(xué)生在輕松的學(xué)習(xí)狀態(tài)下學(xué)會了知識、掌握了技能、發(fā)展了思維！